Question

10．有下列命題：
①若函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）對于任意的x都有f（$\frac{π}{6}$+x）=-f（$\frac{π}{6}$-x），則f（$\frac{π}{6}$）=0；
②正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；
③曲線g（x）=x²與曲線f（x）=2^x有三個公共點；
④若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則有且只有一個實數(shù)λ，使$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$；
⑤已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0}\\{lo{g}_{a}x（a＞0，a≠1），x＞0}\end{array}\right.$的圖象上關(guān)于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．
其中正確命題的序號是①③⑤．

Answer 1

分析 運用正弦函數(shù)的對稱性，即可判斷①；由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷②；
令h（x）=x²-2^x，可得h（2）=h（4）=0，再由零點存在定理，可得h（x）在x＜0有一個零點，即可判斷③；
運用向量共線定理，即可判斷④；畫出f（x）關(guān)于y軸對稱的圖象，設(shè)g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
通過圖象觀察，可得0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），解不等式即可判斷⑤．

解答 解：對于①，若函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）對于任意的x都有f（$\frac{π}{6}$+x）=-f（$\frac{π}{6}$-x），
即有f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{6}$，0）對稱，則f（$\frac{π}{6}$）=0，故①正確；
對于②，由正切函數(shù)的性質(zhì)，可得正切函數(shù)在（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z單調(diào)遞增，故②錯誤；
對于③，令h（x）=x²-2^x，可得h（2）=h（4）=0，h（-1）＞0，h（0）＜0，且h（x）在（-1，0）遞減，
即有h（x）在（-1，0）有一個零點，故曲線g（x）=x²與曲線f（x）=2^x有三個公共點正確；
對于④，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，（$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$），則有且只有一個實數(shù)λ，使$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$；若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，則λ有無數(shù)個，故④錯誤；
對于⑤，若x＞0，則-x＜0，
∵x＜0時，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
則若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱，
則f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），
即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
設(shè)g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0與f（x）=log_ax，x＞0的圖象至少有3個交點，
則0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），即-2＜log_a5，即log_a5＞log_aa^-2，則5＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，
解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點的判斷和向量共線定理的運用，考查對數(shù)函數(shù)的圖象的性質(zhì)，屬于中檔題．