Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+（a-1）x，h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$ax²．
（1）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由題意可得1-a=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，求出單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值，可得a的范圍；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，a≥0時，a=-1，a＜-1，-1＜a＜0，運用導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）由f（x）=0，可得1-a=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當x＞e時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）遞增．即有x=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，
可得y=1-a和g（x）=$\frac{lnx}{x}$有兩個交點，
可得0＜1-a＜$\frac{1}{e}$，解得1-$\frac{1}{e}$＜a＜1．
故a的取值范圍是（1-$\frac{1}{e}$，1）；
（2）h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$ax²=lnx+（a-1）x-$\frac{1}{2}$ax²，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1-ax=-$\frac{（x-1）（ax+1）}{x}$，
當a≥0時，由h′（x）＞0，可得0＜x＜1；由h′（x）＜0，可得x＞1；
當a＜0時，a=-1時，h′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0；
當a＜-1時，-$\frac{1}{a}$＜1，由h′（x）＞0，可得0＜x＜-$\frac{1}{a}$，或x＞1；
由h′（x）＜0，可得-$\frac{1}{a}$＜x＜1；
當-1＜a＜0時，-$\frac{1}{a}$＞1，由h′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$；
由h′（x）＜0，可得1＜x＜-$\frac{1}{a}$．
綜上可得，a≥0時，h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
a=-1時，h（x）在（0，+∞）遞增；
a＜-1時，h（x）在（-$\frac{1}{a}$，1）遞減；在（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）遞增；
-1＜a＜0時，h（x）在（1，-$\frac{1}{a}$）遞減；在（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．

點評 本題考查函數(shù)的零點問題的解法，注意運用參數(shù)分離和圖象的交點個數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意運用分類討論的思想方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，考查化簡運算能力，屬于中檔題．