Question

7．平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，直線AB的斜率k₁=1，則直線AD的斜率k₂=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -2

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用橢圓與平行四邊形的對(duì)稱性可得：D（-x₂，-y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為3x²+4tx+2t²-4=0，△＞0，解得0＜t²＜6，可得直線AD的斜率k₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用橢圓與平行四邊形的對(duì)稱性可得：D（-x₂，-y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為3x²+4tx+2t²-4=0，△＞0，解得0＜t²＜6（t=0時(shí)不能構(gòu)成平行四邊形）．
∴x₁+x₂=-$\frac{4t}{3}$．
∴直線AD的斜率k₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$1+\frac{2t}{-\frac{4t}{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與平行四邊形的對(duì)稱性、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．