Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中a₁=2，a_n+1=（$\sqrt{2}$-1）（a_n+2），n∈N^*，則{a_n}的通項公式為${a}_{n}=\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）^{n}+\sqrt{2}$．
變式：已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，a_n+1=2a_n³，n∈N^*，則{a_n}的通項公式為${a}_{n}={2}^{\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{${a}_{n}-\sqrt{2}$}構(gòu)成以$2-\sqrt{2}$為首項，以$\sqrt{2}-1$為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式后，可得{a_n}的通項公式；
變式：把已知等式兩邊取對數(shù)，然后構(gòu)造等比數(shù)列{$lg{a}_{n}+\frac{1}{2}lg2$}求得答案．

解答 解：由a_n+1=（$\sqrt{2}$-1）（a_n+2）=$（\sqrt{2}-1）{a}_{n}+2\sqrt{2}-2$，得
${a}_{n+1}-\sqrt{2}=（\sqrt{2}-1）（{a}_{n}-\sqrt{2}）$，
∵${a}_{1}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}≠0$，
∴數(shù)列{${a}_{n}-\sqrt{2}$}構(gòu)成以$2-\sqrt{2}$為首項，以$\sqrt{2}-1$為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}-\sqrt{2}=\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）•（\sqrt{2}-1）^{n-1}=\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）^{n}$，
則${a}_{n}=\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）^{n}+\sqrt{2}$，
故答案為：${a}_{n}=\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）^{n}+\sqrt{2}$；
變式：由a₁=2，a_n+1=2a_n³，可知a_n＞0，
兩邊取對數(shù)，得lga_n+1=3lga_n+lg2，
∴$lg{a}_{n+1}+\frac{1}{2}lg2=3（lg{a}_{n}+\frac{1}{2}lg2）$，
∵$lg{a}_{1}+\frac{1}{2}lg2=\frac{3}{2}lg2≠0$，
∴數(shù)列{$lg{a}_{n}+\frac{1}{2}lg2$}構(gòu)成以$\frac{3}{2}lg2$為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
則$lg{a}_{n}+\frac{1}{2}lg2={3}^{n-1}•\frac{3}{2}lg2=\frac{{3}^{n}}{2}lg2$，
∴$lg{a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{2}lg2-\frac{1}{2}lg2=\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）lg2$，
則${a}_{n}={2}^{\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）}$．
故答案為：${a}_{n}={2}^{\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬中檔題．