Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，設(shè)方程f（x）=x在區(qū)間（0，n]內(nèi)所有實根的和為S_n，則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和當(dāng)n→∞時的極限值為2．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$的圖象，可得方程f（x）=x在區(qū)間（0，n]內(nèi)所有實根分別為：1，2，3，…，n，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，可得S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），利用裂項相消法可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：
，
由圖可知：方程f（x）=x在區(qū)間（0，n]內(nèi)所有實根分別為：1，2，3，…，n，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和T=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
當(dāng)n→∞時，數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和的極限值為2，
故答案為：2．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)，數(shù)列求和，是函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度中檔．