Question

7．設(shè)復(fù)數(shù)z=a+i（i是虛數(shù)單位，a∈R，a＞0），且|z|=$\sqrt{10}$．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$（m∈R）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)求解．

解答 解：（Ⅰ）∵z=a+i，|z|=$\sqrt{10}$，
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，…（2分）
即a²=9，解得a=±3，…（4分）
又∵a＞0，
∴a=3，…（5分）
∴z=3+i．                                …（6分）
（Ⅱ）∵z=3+i，則$\overline{z}$=3-i，…（7分）
∴$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$=3-i+$\frac{（m+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{m+5}{2}$+$\frac{m-1}{2}$i，…（8分）
又∵復(fù)數(shù)$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$（m∈R）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+5}{2}＞0}\\{\frac{m-1}{2}＜0}\end{array}\right.$  得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-5}\\{m＜1}\end{array}\right.$          …（11分）
∴-5＜m＜1．              …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．