Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的離心率為

2

2

，上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上，且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線y=-3分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）求直線MN長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件知e=

c

a

=

1

a

=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由橢圓方程求出兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結(jié)合P的坐標(biāo)適合橢圓方程可證結(jié)論．
（Ⅲ）分別求出M和N點(diǎn)的坐標(biāo)，由（Ⅱ）中的結(jié)論得到兩直線斜率間的關(guān)系，把|MN|用含有一個(gè)字母的代數(shù)式表示，然后利用基本不等式求最值．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的離心率為

2

2

，
∴e=

c

a

=

1

a

=

2

2

，解得a=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：∵橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上，
∴A（0，1），B（0，-1），設(shè)P（x₀，y₀），∵異于點(diǎn)A、B，∴x₀≠0，
∴直線AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，直線BP的斜率k₂=

y0+1

x0

，
∵P（x₀，y₀）在

x2

2

+y2=1上，∴

x02

2

+y02=1，x₀≠0，
∴k1k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=

- x02 2

x02

=-

1

2

．
∴k₁•k₂為定值-

1

2

．
（Ⅲ）解：由題意，直線AP：y-1=k₁x，直線PB：y+1=k₂x，
∵直線AP、BP與直線y=-3分別相交于點(diǎn)M、N，
∴由

y-1=k1x y=-3

，得M（-

4

k1

，-3），
由

y+1=k2x y=-3

，劉N（-

2

k2

，-3），
∴|MN|=|

4

k1

-

2

k2

|，又k1•k2=-

1

2

，∴k2=-

1

2k1

，
∴|MN|=|

4

k1

+4k1|=

4

|k1|

+4|k1|
≥2

4 |k1| •4|k1|

=8．
當(dāng)且僅當(dāng)

4

|k1|

=4|k1|，即k₁=±1時(shí)，等號(hào)成立，
∴MN的最小值是8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了利用基本不等式求最值，考查了橢圓方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．