已知a>b>0,曲線C上任意一點(diǎn)P分別與點(diǎn)A(-a,0)、B(a,0)連線的斜率的乘積為-
b2
a2

(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+h(k≠0,h≠0)與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn),若曲線C與直線沒(méi)有公共點(diǎn),求證:|MN|>a+b.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)由已知條件得kPAkPB=
y
x+a
y
x-a
=-
b2
a2
,由此能求出曲線C的方程.
(Ⅱ)由
x2
a2
+
y2
b2
=1
y=kx+h
,得(b2+a2k2)x2+2a2hkx+a2(h2-b2)=0,由此能證明|MN|>a+b.
解答: (Ⅰ)解:設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).
依題意kPAkPB=
y
x+a
y
x-a
=-
b2
a2
,
且x≠±a,…(3分)
整理得
x2
a2
+
y2
b2
=1
,
∴曲線C的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,x≠±a.…(5分)
(Ⅱ)證明:由
x2
a2
+
y2
b2
=1
y=kx+h
,得(b2+a2k2)x2+2a2hkx+a2(h2-b2)=0,
∴△=4a2h2k2-4(b2+a2k2)a2(h2-b2)<0,
即b2+a2k2<h2,…(7分)
由已知條件可知M(-
h
k
,0),N(0,h),
|MN|2=
h2
k2
+h2
b2+a2k2
k2
+a2k2

=a2+b2+
b2
k2
+a2k2

≥a2+b2+2ab,
∴|MN|2>(a+b)2,即|MN|>a+b.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等,具有一定的難度.
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函數(shù)f(x)=
3-x
lg(x+1)
的定義域是( 。
A、(0,3]
B、(-1,0)∪(0,3]
C、(-1,3]
D、(-1,3)

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已知
3x3+4y3=7
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,求x+y.

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平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
1
2
,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(1,0)的距離的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)P、A、B為橢圓上的點(diǎn),△AOB的面積為
3
,M為AB中點(diǎn),判斷|PQ|2+2|OM|2是否為定值,并求|OP|+|OQ|的最大值.

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已知函數(shù)f(x)=x2+1,求f(2x+1).

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如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2-1
=1的離心率為
2
2
,上、下頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)P在橢圓C上,且異于點(diǎn)A、B,直線AP、BP與直線y=-3分別相交于點(diǎn)M、N,設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k1、k2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)證明:k1•k2為定值;
(Ⅲ)求直線MN長(zhǎng)度的最小值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PC上,MC=2PM.
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