Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$（x∈R，e=2.71828…）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f（x-k）+f（x²-k²）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求f（-x）=-f（x），從而說明f（x）為R上的奇函數(shù)；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，證明f（x₁）＜f（x₂），便可得出f（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)且在R為增函數(shù)，便可由f（x-k）+f（x²-k²）≥0恒成立得到x-k≥k²-x²恒成立，即x²+x-k²-k≥0恒成立，從而有△≤0，這樣即可得出k的值．

解答 解：（1）$f（-x）=\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{1}}}{2}-\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}}{2}$=$\frac{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）}{2}$；
∵x₁＜x₂；
∴${e}^{{x}_{1}}＜{e}^{{x}_{2}}$，${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)；
∴由f（x-k）+f（x²-k²）≥0得，f（x-k）≥f（k²-x²）；
∴x-k≥k²-x²；
∴x²+x-k²-k≥0在R上恒成立；
∴△=1+4（k²+k）≤0；
∴（2k+1）²≤0；
∴2k+1=0；
∴$k=-\frac{1}{2}$；
即存在實(shí)數(shù)k=$-\frac{1}{2}$，使f（x-k）+f（x²-k²）≥0恒成立．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后為分式的一般要通分，一般要提取公因式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式恒成立時(shí)判別式△的取值情況．