Question

9．長方體截去一個三棱錐后的直觀圖和部分三視圖如圖所示．
（1）畫出這個幾何體的俯視圖，并求截面AEF的面積；
（2）若M為EF的中點，求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直觀圖，可得俯視圖，根據(jù)三角形的三條邊，即可求截面AEF的面積；
（2）將幾何體補充為長方體，則∠AMG為直線AM與平面ABCD所成角，即可求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（1）俯視圖如圖所示，截面AEF中AF=EF=2$\sqrt{5}$，AE=2$\sqrt{2}$，面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{20-2}$=6；
（2）將幾何體補充為長方體，則∠AMG為直線AM與平面ABCD所成角．
∵GM=$\sqrt{5}$，GA=2，
∴tan∠AMG=$\frac{GA}{GM}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面角，考查三視圖，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．