Question

4．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、A₁D₁的中點(diǎn)，判斷MN與平面A₁BC₁的位置關(guān)系，并證明你的理由．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面A₁BC₁．

解答 解：MN∥平面A₁BC₁．
證明如下：
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=a，AB=b，AA₁=c，
則M（a，$\frac{2}$，0），N（$\frac{a}{2}$，0，c），A₁（a，0，c），B（a，b，0），C₁（0，b，c），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{2}$，c），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，b，-c），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，b，0），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=by-cz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-ax+by=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{a}$，$\frac{a}{c}$），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{a}{2}$-$\frac{a}{2}$+a=0，MN?平面A₁BC₁，
∴MN∥平面A₁BC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．