Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin²x；
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，且f（$\frac{α+β}{2}$）=0，f（$\frac{π}{4}$+β）=1，求f（$\frac{α-β}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意利用三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，得出結(jié)論．
（2）由條件求得α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$）、cos（α+β）的值以及2β∈（$\frac{3π}{2}$，2π）、sin2β的值，從而求得f（$\frac{α-β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-β）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin[（α+β）-2β]+$\frac{1}{2}$的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin²x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得 kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）若0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，且f（$\frac{α+β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+β）+$\frac{1}{2}$=0，則sin（α+β）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$），cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
又 f（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+2β）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2β+$\frac{1}{2}$=1，∴cos2β=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴2β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），sin2β=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴f（$\frac{α-β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-β）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin[（α+β）-2β]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+β）cos2β-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（α+β）sin2β+$\frac{1}{2}$ 
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）•$\frac{\sqrt{6}}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，兩角和差的三角函數(shù)，屬于中檔題．