Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-4x+4
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)f（x）=k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象從而求出k的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得：x=2或x=-2，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增↗	$\frac{28}{3}$	單調(diào)遞減↘	$-\frac{4}{3}$	單調(diào)遞增↗

因此，當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極大值$\frac{28}{3}$
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值$-\frac{4}{3}$；
（2）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$的圖象，大致如圖：

若函數(shù)f（x）=k有3個(gè)解，
即函數(shù)y=k和y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知：$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．