Question

3．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和圓${C_2}：{x^2}+{y^2}={b^2}$，若橢圓C₁上存在點P，過點P作圓C₂的兩條切線PA，PB（A，B為對應的切點），且滿足$∠APB=\frac{π}{3}$，則橢圓最圓的時離心率e=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，cos∠AOP=$\frac{|OP|}$=$\frac{1}{2}$，可得b＜|OP|≤a，可得橢圓C的離心率的取值范圍．

解答 解：連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓，
∵∠APB=60°，
∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，
∴cos∠AOP=$\frac{|OP|}$=$\frac{1}{2}$，
∴|OP|=2b，
∴b＜|OP|≤a，
∴2b≤a，
∴4b²≤a²，
由a²=b²+c²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，
即e≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1．
∴橢圓最圓的時離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、四點共圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．