Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₂作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為M，且|MF₁|=3|MF₂|，則此雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程，運用點到直線的距離公式，求得|MF₂|=b，運用余弦函數(shù)的定義和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
F₂（c，0）到漸近線的距離為d=|MF₂|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
cos∠MOF₂=$\frac{|MO|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-^{2}}}{c}$=$\frac{a}{c}$，
在△MOF₁中，|MF₁|²=|MO|²+|OF₁|²-2|MO|•|OF₁|•cos∠MOF₂
=a²+c²-2ac•（-$\frac{a}{c}$）=3a²+c²，
由|MF₁|=3|MF₂|，可得3a²+c²=9b²=9（c²-a²），
即有c²=$\frac{3}{2}$a²，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式，同時考查余弦定理的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．