Question

7．已知sinα=4sin（α+β），α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求證：tan（α+β）=$\frac{sinβ}{cosβ-4}$．

Answer 1

分析 由已知得sin（α+β-β）=4sin（α+β），由此利用正弦函數(shù)加法定理和同角三角函數(shù)關系式能證明ttan（α+β）=$\frac{sinβ}{cosβ-4}$．

解答 證明：∵sinα=4sin（α+β），α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴sin（α+β-β）=4sin（α+β），
∴sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=4sin（α+β），
∴$\frac{sin（α+β）}{cosβ-4}$=cos（α+β）sinβ，
∴tan（α+β）=$\frac{sinβ}{cosβ-4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦函數(shù)加法定理和同角三角函數(shù)關系式的合理運用．