Question

9．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2．
（1）若a與b的夾角為150°，求|$\overline{a}+2\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{a}$與b的夾角．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算可得；
（2）由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，計(jì)算可得向量的夾角．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos150°=$\sqrt{3}$×2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-3，
即有|$\overline{a}+2\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{3+4×4-12}$=$\sqrt{7}$；
（2）由$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{a}$，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即為$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
即有3=2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，
即為cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．