Question

14．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則在該幾何體中，最長的棱與最短的棱所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個四棱柱P-ABCD，由三視圖求出幾何元素的長度、并判斷出位置關(guān)系，從而可得最短、最長的棱長以及長度，由圖和余弦定理求出答案．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱柱P-ABCD，
且底面是直角梯形，AB⊥AD、AD∥CB，且AB=BC=4、AD=2，
PA⊥平面ABCD，PA=4，
由圖可得，最短的棱是AD=2，
最長的側(cè)棱長是PC=$\sqrt{A{P}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}+A{B}^{2}+B{C}^{2}}$
=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
且PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}=4\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，∴最長的棱PC與最短的棱AD所成角是∠PCB，
在直角三角形PBC中，cos∠PCB=$\frac{P{C}^{2}+B{C}^{2}-P{B}^{2}}{2PC•BC}$
=$\frac{16×3+16-32}{2×4\sqrt{3}×4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查幾何體的三視圖，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．