Question

1．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在AB上．
（1）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）當$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{5}$時，求三棱錐B-CDB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，交B₁C于E，連接DE．利用矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理可得：DE∥AC₁．再利用線面平行的判定定理可得：AC₁∥平面B₁CD．
（2）由$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{5}$，可得S_△BCD=$\frac{1}{5}{S}_{△ABC}$，利用${V}_{B-{B}_{1}CD}$=${V}_{{B}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}$•BB₁即可得出．

解答 （1）證明：連接BC₁，交B₁C于E，連接DE．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
∴側(cè)面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）解：∵AC⊥BC，AC=4，BC=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC$=6，
∵$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{5}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{5}{S}_{△ABC}$=$\frac{6}{5}$，
又∵BB₁⊥平面BCD，BB₁=4，
∴${V}_{B-{B}_{1}CD}$=${V}_{{B}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}$•BB₁=$\frac{1}{3}×\frac{6}{5}×4$=$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．