12.已知函數(shù)f(x)=2cos(x+$\frac{π}{6}$)+2sinx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(x)=$\frac{1}{3}$,求cos(2x+$\frac{2π}{3}$)的值.

分析 (1)首先通過(guò)恒等變換函數(shù)變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步求出單調(diào)區(qū)間;
(2)先求出sin(x+$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{6}$,再根據(jù)二倍角公式即可求出答案.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=2cos(x+$\frac{π}{6}$)+2sinx=2($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx)+2sinx=2($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx)=2sin(x+$\frac{π}{3}$),
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,
得2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{6}$,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{6}$,2kπ+$\frac{7π}{6}$],k∈Z;
(2)∵f(x)=$\frac{1}{3}$,
∴2sin(x+$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{3}$,
∴sin(x+$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{6}$,
∴cos(2x+$\frac{2π}{3}$)=1-2sin2(x+$\frac{π}{3}$)=1-$\frac{1}{18}$=$\frac{17}{18}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,二倍角公式,正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.

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