Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1），x≥0}\\{-\frac{1}{3}x（x-1），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，2]（b＜2）上的最小值；
（2）是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]，若存在寫出滿足條件的所有區(qū)間[m，n]，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得x≥0時，f（x）的對稱軸，討論b≥$\frac{1}{2}$時，當0≤b＜$\frac{1}{2}$時，當-$\frac{1}{2}$＜b＜0，當b≤-$\frac{1}{2}$時，運用單調性，即可得到最小值；
（2）假設存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]．討論當m≥$\frac{1}{2}$時，當0＜m＜$\frac{1}{2}$時，n≥$\frac{1}{2}$，當-$\frac{1}{2}$＜m＜0，若n≥1，當m≤-$\frac{1}{2}$，n≤0時，結合單調性，求得最值，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）當x≥0時，f（x）的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
當b≥$\frac{1}{2}$時，區(qū)間[b，2]為增區(qū)間，即有x=b時，
取得最小值b（b-1）；
當0≤b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在[b，$\frac{1}{2}$）遞減，（$\frac{1}{2}$，2]遞增，
即有x=$\frac{1}{2}$處取得最小值，且為-$\frac{1}{4}$；
由-$\frac{1}{3}$b（b-1）=-$\frac{1}{4}$，解得b=-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
當-$\frac{1}{2}$＜b＜0，可得區(qū)間[b，2]的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$；
當b≤-$\frac{1}{2}$時，f（b）≤f（$\frac{1}{2}$），即有區(qū)間[b，2]上的最小值為f（b）=-$\frac{1}{3}$b（b-1）．
綜上可得，當b≥$\frac{1}{2}$時，f（x）的最小值為b（b-1）；
當-$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$；
當b≤-$\frac{1}{2}$時，最小值為-$\frac{1}{3}$b（b-1）．
（2）假設存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]．
當m≥$\frac{1}{2}$時，區(qū)間[m，n]為增區(qū)間，即有f（m）=m，f（n）=n，
可得m，n為方程x（x-1）=x的兩根，可得m=0，n=2，不成立；
當0＜m＜$\frac{1}{2}$時，n≥$\frac{1}{2}$，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，不成立；
若0＜n＜$\frac{1}{2}$，區(qū)間[m，n]為減區(qū)間，即有f（m）=n，f（n）=m，
即為m（m-1）=n，n（n-1）=m，解得m=-n不成立；
當-$\frac{1}{2}$＜m＜0，若n≥1，即有f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，最大值為f（n）=n（n-1），
由假設可得m=-$\frac{1}{4}$，n（n-1）=n，可得n=2，即有區(qū)間[-$\frac{1}{4}$，2]成立；
若$\frac{1}{2}$＜n＜1時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，最大值為0，顯然不成立；
若0＜n≤$\frac{1}{2}$時，f（x）的最大值為0，顯然不成立；
當m≤-$\frac{1}{2}$，n≤0時，區(qū)間[m，n]為增區(qū)間，即有f（m）=m，f（n）=n，
可得m，n為方程-$\frac{1}{3}$x（x-1）=x的兩根，可得m=-2，n=0成立．
綜上可得，存在區(qū)間[m，n]（m＜n），且為[-2，0]，或[-2，2]，或[-$\frac{1}{4}$，2]，
使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的定義域和值域，以及最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，屬于中檔題．