Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1），x≥0}\\{-\frac{1}{3}x（x-1），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，2]（b＜2）上的最小值；
（2）是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]，若存在寫出滿足條件的所有區(qū)間[m，n]，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得x≥0時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸，討論b≥$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)0≤b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜b＜0，當(dāng)b≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到最小值；
（2）假設(shè)存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]．討論當(dāng)m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，n≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜m＜0，若n≥1，當(dāng)m≤-$\frac{1}{2}$，n≤0時(shí)，結(jié)合單調(diào)性，求得最值，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)b≥$\frac{1}{2}$時(shí)，區(qū)間[b，2]為增區(qū)間，即有x=b時(shí)，
取得最小值b（b-1）；
當(dāng)0≤b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[b，$\frac{1}{2}$）遞減，（$\frac{1}{2}$，2]遞增，
即有x=$\frac{1}{2}$處取得最小值，且為-$\frac{1}{4}$；
由-$\frac{1}{3}$b（b-1）=-$\frac{1}{4}$，解得b=-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜b＜0，可得區(qū)間[b，2]的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)b≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（b）≤f（$\frac{1}{2}$），即有區(qū)間[b，2]上的最小值為f（b）=-$\frac{1}{3}$b（b-1）．
綜上可得，當(dāng)b≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值為b（b-1）；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)b≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，最小值為-$\frac{1}{3}$b（b-1）．
（2）假設(shè)存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]．
當(dāng)m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，區(qū)間[m，n]為增區(qū)間，即有f（m）=m，f（n）=n，
可得m，n為方程x（x-1）=x的兩根，可得m=0，n=2，不成立；
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，n≥$\frac{1}{2}$，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，不成立；
若0＜n＜$\frac{1}{2}$，區(qū)間[m，n]為減區(qū)間，即有f（m）=n，f（n）=m，
即為m（m-1）=n，n（n-1）=m，解得m=-n不成立；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜m＜0，若n≥1，即有f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，最大值為f（n）=n（n-1），
由假設(shè)可得m=-$\frac{1}{4}$，n（n-1）=n，可得n=2，即有區(qū)間[-$\frac{1}{4}$，2]成立；
若$\frac{1}{2}$＜n＜1時(shí)，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，最大值為0，顯然不成立；
若0＜n≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最大值為0，顯然不成立；
當(dāng)m≤-$\frac{1}{2}$，n≤0時(shí)，區(qū)間[m，n]為增區(qū)間，即有f（m）=m，f（n）=n，
可得m，n為方程-$\frac{1}{3}$x（x-1）=x的兩根，可得m=-2，n=0成立．
綜上可得，存在區(qū)間[m，n]（m＜n），且為[-2，0]，或[-2，2]，或[-$\frac{1}{4}$，2]，
使得函數(shù)f（x）的定義域和值域都為[m，n]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的定義域和值域，以及最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．