Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x-c，0＜x≤1}\\{{x}^{2}-bx-1，x＞1}\end{array}\right.$在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，設(shè)b、c為常數(shù)
（1）若c=0，求b的取值范圍；
（2）若b≤2，c＞1，且f（c）-f（b）≠k（c²-b²），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）c=0時(shí)，得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤1}\\{{x}^{2}-bx-1}&{x＞1}\end{array}\right.$，而f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，從而根據(jù)二次函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性得到$\frac{2}＞1$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}≤1}\\{{1}^{2}-b•1-1＜lo{g}_{2}1}\end{array}\right.$，這樣便可求出b的取值范圍；
（2）可判斷出f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，從而要使f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，便可得出b＞c，從而求出f（c）-f（b）=c²-bc，這便得到$k≠\frac{c}{c+b}$，而可求得$\frac{c}{c+b}＜\frac{1}{2}$，從而便有$k≥\frac{1}{2}$，這便得出了k的取值范圍．

解答 解：（1）c=0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤1}\\{{x}^{2}-bx-1}&{x＞1}\end{array}\right.$；
∵f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)；
∴$\frac{2}＞1$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}≤1}\\{{1}^{2}-b•1-1＜lo{g}_{2}1}\end{array}\right.$；
∴b＞2，或0＜b≤2；
∴b的取值范圍為（0，+∞）；
（2）b≤2；
∴$\frac{2}≤1$；
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴要使f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，則：1²-b•1-1＜log₂1-c；
∴-b＜-c；
∴b＞c；
又c＞1，∴b＞1；
∴f（c）-f（b）=c²-bc-1-（b²-b²-1）=c²-bc；
∴c²-bc≠k（c²-b²）；
∴$k≠\frac{{c}^{2}-bc}{{c}^{2}-^{2}}=\frac{c}{c+b}$；
∵b＞c＞1；
∴b+c＞2c；
∴$\frac{c}{c+b}＜\frac{1}{2}$；
∴$k≥\frac{1}{2}$；
∴k的取值范圍為$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)和分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，已知函數(shù)求值的方法，不等式的性質(zhì)．