Question

設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為，證明．

Answer 1

解析：（I）由題知f(x)=2ax²+(a+4)x+lnx的定義域為(0，+∞)，

且．

又∵f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，

∴，

解得a=-6．                           

（Ⅱ），

由x>0，知>0．

①當(dāng)a≥0時，對任意x>0，>0，

∴此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)．

②當(dāng)a<0時，令=0，解得，

當(dāng)時，>0，當(dāng)時，<0，

此時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，+∞)．     

（Ⅲ）不妨設(shè)A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，

于是要證<0成立，只需證：即．

∵，   ①

，  ②

①-②得，

即，

∴，

故只需證，

即證明，

即證明，變形為，

設(shè)，令，

則，

顯然當(dāng)t>0時，≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，=0，

∴g(t)在(0，+∞)上是增函數(shù)．

又∵g(1)=0，

∴當(dāng)t∈(0，1)時，g(t)<0總成立，命題得證．