Question

9．已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和直線l：$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+6=0，其中橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B．
（1）求與橢圓C相切平行于直線l的直線方程；
（2）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，滿足橢圓方程，解方程可得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程，設(shè)出與直線l平行的直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，即可得到所求直線方程；
（2）運(yùn)用兩直線平行的距離公式和三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求面積的最小值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²-b²=c²，
又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{3^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
設(shè)與橢圓C相切平行于直線l的直線方程為$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+t=0，
聯(lián)立橢圓方程，可得25y²+8$\sqrt{2}$ty+2t²-18=0，
由判別式為0，即128t²-100（2t²-18）=0，
解得t=±5，
則所求直線方程為$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+5=0，或$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y-5=0；
（2）直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A（0，-$\frac{3}{\sqrt{2}}$），B（-$\frac{6}{\sqrt{3}}$，0），
則|AB|=$\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{36}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$，
由（1）可得直線$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+5=0與$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+6=0的距離為
d=$\frac{|6-5|}{\sqrt{3+8}}$=$\frac{1}{\sqrt{11}}$，即為P到直線l的距離的最小值，
則△PAB面積的最小值為$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{11}}$×$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率公式的運(yùn)用，考查直線和橢圓相切的條件，考查兩直線平行的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．