Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1．
（1）若函數(shù)g（x）=log_a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x＞0時，恒有不等式$\frac{f（x）}{x}$＞lnx成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題可知x²-2ax+1+a＞0在R上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的范圍；
（2）整理不等式得x+$\frac{1}{x}$-lnx＞2a，構造函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$-lnx，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可．

解答 （1）由題意可知，
x²-2ax+1+a＞0在R上恒成立，
∴△=4a²-4-4a＜0，
∴0＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，且a≠1；
（2）∵$\frac{f（x）}{x}$＞lnx，
∴x+$\frac{1}{x}$-lnx＞2a，
令f（x）=x+$\frac{1}{x}$-lnx，
∴f'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$+1，
令f'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$+1=0，
∴x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴x∈（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（0，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）≥f（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=$\sqrt{5}$-ln$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴a＜$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-ln$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

點評 考查了對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)和恒成立問題的轉換．難點是利用導函數(shù)求出構造函數(shù)的最小值．