Question

5．已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點，離心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓E相交于A、B兩點，且在x軸上存在點M，使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$與k的取值無關(guān)，試求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）橢圓的焦點在x軸上，且a=$\sqrt{5}$，e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，故c、b可求，所以橢圓E的方程可以寫出來．
（2）將y=k（x+1），代入方程E可得關(guān)于x的一元二次方程（*）；設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由方程（*）根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂，x₁x₂；計算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$得關(guān)于m、k的代數(shù)式，要使這個代數(shù)式與k無關(guān)，可以得到m的值；從而得點M．

解答 解：（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且a=$\sqrt{5}$，…1分
c=e•a=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，
故b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{5-\frac{10}{3}}$=$\sqrt{\frac{5}{3}}$，…4分
所以，橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}=1$，即x²+3y²=5…6分
（2）將y=k（x+1）代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；…7分
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），則
x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$；…8分
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁-m，y₁）=（x₁-m，k（x₁+1）），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-m，y₂）=（x₂-m，k（x₂+1））；
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²
=m²+2m-$\frac{1}{3}$-$\frac{6m+14}{3（3{k}^{2}+1）}$，
要使上式與k無關(guān)，則有6m+14=0，解得m=-$\frac{7}{3}$；
∴存在點M（-$\frac{7}{3}$，0）滿足題意…13分

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應用問題，也考查了橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，考查了一定的計算能力，屬于中檔題．