Question

13．已知圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{16}$上點E處的一條切線l過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F，且與雙曲線的右支交于點P，若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），則雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{26}}{4}$．

Answer 1

分析 連接OE，設右焦點為F'，連接PF'，則OE⊥PF，由條件可得E為PF的中點，運用中位線定理和雙曲線的定義，可得PF'，PF的長，再由勾股定理和離心率公式計算即可得到．

解答 解：連接OE，設右焦點為F'，連接PF'，
則OE⊥PF，
若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），
則E為PF的中點，
由中位線定理可得|PF'|=2|OE|=$\frac{a}{2}$，
且PF⊥PF'，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a，
即有|PF|=$\frac{5a}{2}$，
則有|PF|²+|PF'|²=|FF'|²，
即為$\frac{25}{4}$a²+$\frac{1}{4}$a²=4c²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{26}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{26}}{4}$．

點評 本題考查能雙曲線的定義、方程和性質，同時考查向量的中點表示和直線和圓相切的條件以及離心率的求法，運用中位線定理是解題的關鍵．