Question

14．如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B的大��；
（3）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明直線BD所在的向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量垂直，即可得到直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而得到線面垂直．
（2）由題意求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角P-CD-B的平面角即可．
（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜線PC所在的向量$\overrightarrow{PC}$，然后求出$\overrightarrow{PC}$在法向量上的射影即可得到點(diǎn)到平面的距離．

解答 （1）證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因?yàn)锳P∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：由（1）得$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
即$\left\{\begin{array}{l}{2y-2z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，
故平面PCD的法向量可取為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，1）
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2）為平面ABCD的法向量．
設(shè)二面角P-CD-B的大小為θ，依題意可得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角P-CD-B的大小是45°．
（3）解：由（1）得$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
同理，可得平面PBD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，1，1）．
∵$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），
∴C到面PBD的距離為d=|$\frac{2+2-2}{\sqrt{1+1+1}}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的基本運(yùn)算解決線面共線、空間角與空間距離等問題．