Question

11．若函數(shù)f（x）滿足f′（x）-f（x）=2xe^x，f（0）=1，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{f′（x）}{f（x）}$的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）滿足f′（x）-f（x）=2xe^x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，（$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′=2x，
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=x²+b，
∴f（x）=（x²+b）e^x，
∵f（0）=1，∴b=1，
∴f（x）=（x²+1）e^x，
f′（x）=（x+1）²e^x，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{f′（x）}{f（x）}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{f′（x）}{f（x）}$的最大值為2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定f（x）是關(guān)鍵．