Question

4．已知直線l：x-2y+8=0和兩點(diǎn)A（-2，8），B（-2，-4），若直線l上存在點(diǎn)P使得||PA|-|PB||最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及||PA|-|PB||的最大值．

Answer 1

分析 作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，作直線BA′交l于P點(diǎn)，此時(shí)||PB|-|PA||最大，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x-2y+8=0的對(duì)稱點(diǎn)A′（m，n），利用斜率成積為-1，和中點(diǎn)在線上得到解得A′（2，0）
||PA|-|PB||≤|B A′|當(dāng)且僅當(dāng)B、A′、P三點(diǎn)共線取得等號(hào)．
所以當(dāng)P是直線x-y-2=0與x-2y+8=0的交點(diǎn)時(shí)
||PA|-|PB||最大．聯(lián)立兩條直線可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，10），|BA′|=4$\sqrt{2}$
||PA|-|PB||≤|BA′|=4$\sqrt{2}$，故||PA|-|PB||最大值為4$\sqrt{2}$，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是最短線路問題，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形，再由兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)求解．