Question

16．函數(shù)f（x）的定義域為D，對給定的正數(shù)k，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的k級“調(diào)和區(qū)間”．下列結(jié)論錯誤的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）=x³（x∈[-2016，2016]存在1級“調(diào)和區(qū)間”
• B． 函數(shù)f（x）=e^x（x∈R）不存在2級“調(diào)和區(qū)間”
• C． 函數(shù)f（x）=5elnx存在3級“調(diào)和區(qū)間”
• D． 函數(shù)f（x）=tanx（x$∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$）不存在4級“調(diào)和區(qū)間”

Answer 1

分析 利用導數(shù)與y=f（x）的k級“調(diào)和區(qū)間”的定義：只要證明函數(shù)g（x）=f（x）-kx在定義域D上存在存在兩個零點即可．

解答 解：A．∵f′（x）=3x²≥0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．取x∈[-1，1]∈R，則f（x）∈[-1，1]，因此[-1，1]是函數(shù)f（x）的1級“調(diào)和區(qū)間”，故A正確；
B．f′（x）=e^x＞0，因此函數(shù)f（x）=e^x在x∈R上單調(diào)遞增，假設(shè)函數(shù)存在2級“調(diào)和區(qū)間”，則f（x）=e^x=2x，有兩個零點，令g（x）=e^x-2x，g′（x）=e^x-2，令g′（x）=0，
解得x=ln2，當x=ln2時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）=e^x-2x＞0，即函數(shù)g（x）不存在零點，與假設(shè)矛盾，舍去．不存在2級“調(diào)和區(qū)間”，故B正確；
C．f′（x）=$\frac{5e}{x}$＞0，因此函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．令g（x）=5elnx-3x，g′（x）=$\frac{5e}{x}$-3=$\frac{5e-3x}{x}$，可知：當x=$\frac{5e}{3}$時，函數(shù)g（x）取得最大值，$g（\frac{5e}{3}）$=5eln$\frac{5e}{3}$-5e＞0，
并且x→0+時，g（x）→-∞；x→+∞時，g（x）→-∞．因此函數(shù)g（x）在（0，+∞）上存在兩個零點，即f（x）=5elnx存在3級“調(diào)和區(qū)間”，故C正確．
D．∵f（x）=tanx在x$∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，假設(shè)存在4級“調(diào)和區(qū)間”，則g（x）=tanx-4x在x$∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$至少存在兩個零點，利用幾何畫板畫出x$∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$的圖象，可以看出，滿足題意，因此不正確．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的k級“調(diào)和區(qū)間”的定義、函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合能力、推理能力與計算能力，屬于難題．