Question

19．己知圓C的方程為x²+y²-2x-4y+1=0
（I）過點(diǎn)M（3，1）作圓C的切線．求切線方程
（II）點(diǎn)A、B均在圓C上運(yùn)動，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求cos∠AOB的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)過點(diǎn)M（3，1）的切線為kx-y-3k+1=0，圓心C（1，2）到切線的距離為半徑，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）當(dāng)OA與OB都與圓相切時，∠AOB最大，cos∠AOB取最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的方程為x²+y²-2x-4y+1=0，
∴圓心C（1，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
設(shè)過點(diǎn)M（3，1）的切線為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
圓心C（1，2）到切線的距離d=$\frac{|k-2-3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴切線方程為$\frac{3}{4}$x-y-$\frac{9}{4}$+1=0，即3x+4y-5=0．
當(dāng)切線斜率不存在時，直線為x=3，也成立，
∴切線方程為3x+4y-5=0或x=3．
（Ⅱ）∵當(dāng)0＜θ＜π時，cosθ隨θ增大而減小，
∴當(dāng)OA與OB都與圓相切時，∠AOB最大，cos∠AOB取最小值．
如圖，設(shè)A（x，y），OA的方程為：y=kx，則y₀=kx₀，
∵OA與圓相切，∴OA⊥AC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{0}-1）^{2}+（k{x}_{0}-2）^{2}=4}\\{{x}_{0}（1-{x}_{0}）+k{x}_{0}（2-k{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{4}{3}$，${x}_{0}=-\frac{3}{5}$，y₀=$\frac{4}{5}$，
此時，tan∠AOB=k=-$\frac{4}{3}$，cos$∠AOB=-\frac{3}{5}$．
∴cos∠AOB的最小值為-$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線方程的求法，考查角的余弦值的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．