Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²+a）•e^x在（0，f（0））處的切線與直線y=-8x平行．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（0）=-8，解出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=2x•e^x+（x²+a）•e^x=（x²+2x+a）•e^x…（1分）
依題意得f'（0）=-8，
故a=-8…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=（x²+2x-8）•e^x
令f'（x）=0則x²+2x-8=0解得x=-4或x=2…（6分）
列出x，f（x），f'（x）的符號變化表如下：

x	（-∞，-4）	-4	（-4，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

…（8分）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（-∞，-4）和（2，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間：（-4，2）…（10分）
$f{（x）_{極大值}}=f（{-4}）=8{e^{-4}}$$f{（x）_{極小值}}=f（2）=-4{e^2}$．…（12分）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及曲線的切線等基礎(chǔ)知識．考查運算化簡能力、推理論證能力和極限思想．