Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{2}{{e}^{x}+1}，x≥0}\\{\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}，x＜0}\end{array}\right.$  
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，判斷函f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）在R上為偶函數(shù)．分別討論x=0，x＞0，x＜0，f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可判斷；
（2）由函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，可得a=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根．由y=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）內(nèi)遞減，求出值域，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}，x≥0}\\{\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
f（x）在R上為偶函數(shù)．
理由如下：當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，即有f（-x）=$\frac{2}{{e}^{-x}+1}$-$\frac{3}{2}$
=$\frac{2{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{1+{e}^{x}}$=f（x）；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，即有f（-x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{e}^{-x}+1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{2{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{1+{e}^{x}}$=f（x），
則有x∈R時(shí)，f（-x）=f（x），
即有f（x）為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即為a=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根．
由y=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）內(nèi)遞減，
且e^x＞1，則函數(shù)的值域?yàn)椋?，1），
則a的范圍是（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，注意結(jié)合函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．