Question

20．若log₂（a+b）=log₄（4-4a²b²），當(dāng)a-b取得最大值時(shí)，求ab的值．

Answer 1

分析 先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到（a+b）²=4-4a²b²，繼而求出當(dāng)b=1時(shí)，a的值，再根據(jù)（a-b）²=（a+b）²-4ab，得到（a-b）²=4-4a²b²-4ab=-4（ab-$\frac{1}{2}$）²+5，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：∵log₂（a+b）=log₄（4-4a²b²），
∴（a+b）²=4-4a²b²，
當(dāng)b=1時(shí)，
∴（a+1）²=4-4a²，
∵4-4a²b²＞0，且a+b＞0，
∴-1＜ab＜1，且a+b＞0，
∵（a-b）²=（a+b）²-4ab，
∴（a-b）²=4-4a²b²-4ab=-4（ab+$\frac{1}{2}$）²+5，
∴當(dāng)ab=-$\frac{1}{2}$時(shí)，（a-b）²有最大值，
∴當(dāng)a-b取得最大值時(shí)，ab=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．