Question

15．已知$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
（1）求|$\overrightarrow{x}$|，|$\overrightarrow{y}$|；
（2）若$\overrightarrow{x}$與$\overrightarrow{y}$的夾角為θ，求cosθ值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，再根據(jù)|$\overrightarrow{x}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，|$\overrightarrow{y}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）由條件利用兩個(gè)向量的夾角公式求得cosθ值．

解答 解：（1）根據(jù)已知$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴|$\overrightarrow{x}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{y}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{5}$．
（2）若$\overrightarrow{x}$與$\overrightarrow{y}$的夾角為θ，∵$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}|•|\overrightarrow{y}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于基礎(chǔ)題．