Question

13．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）x+3a-4，x≤0}\\{{a}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$滿足對任意實數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． [$\frac{5}{3}$，2）
• C． （1，$\frac{5}{3}$）
• D． （1，$\frac{5}{3}$]

Answer 1

分析 由$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0可知f（x）在R上是增函數(shù)，且f（x）在（-∞，0]上的最大值小于f（x）在（0，+∞）上的最小值．列出不等式組解出．

解答 解：∵$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0恒成立，∴f（x）在定義域上是增函數(shù)，
∵f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，∴2-a＞0，即a＜2．且f（0）=3a-4．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴a＞1，且x→0⁺時，f（x）→1，
∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴3a-4≤1，解得a≤$\frac{5}{3}$．
綜上，a的取值范圍是（1，$\frac{5}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，需要特別注意f（x）在不同定義域上最值的大小關(guān)系，屬于中檔題．