Question

11．如圖，正方體AC₁的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，以下四個(gè)命題：
①點(diǎn)H是△A₁BD的垂心；
②AH垂直平面CB₁D₁
③直線AH和BB₁所成角為45°；
④AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C₁
其中假命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 首先，判斷三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，然后，得到△BA₁D為正三角形，得到H為A在平面A₁BD內(nèi)的射影，然后，根據(jù)平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，得到②正確，最后，結(jié)合線面角和對稱性求解．

解答 解：∵AB=AA₁=AD，BA₁=BD=A₁D，
∴三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，
∴點(diǎn)H是△A₁BD的垂心，故①正確；
∵平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，AH⊥平面A₁BD，
∴AH垂直平面CB₁D₁，∴②正確；
∵AA₁∥BB₁，∴∠A₁AH就是直線AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A₁H=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sin∠A₁AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴③錯(cuò)誤，
根據(jù)正方體的對稱性得到AH的延長線經(jīng)過C₁，∴④正確；
故選：B．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．