Question

9．點(diǎn)A為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線與直線x=a²交于點(diǎn)P．若△APF為等腰三角形，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 由題意可得c=1，a²+b²=1，（0＜a＜1），右準(zhǔn)線方程為x=a²，A（a，0），F(xiàn)（1，0），求得直線PF的方程，求出P的坐標(biāo)，由題意可得|AF|=|AP|，解方程即可得到a的值，由離心率公式可得所求．

解答 解：由題意可得c=1，a²+b²=1，（0＜a＜1），
右準(zhǔn)線方程為x=a²，A（a，0），F(xiàn)（1，0），
直線PF：y=tan$\frac{π}{6}$（x-1），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入x=a²，可得P（a²，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a²-1）），
由題意可得|AF|=|AP|，
即為1-a=$\sqrt{（a-{a}^{2}）^{2}+\frac{1}{3}（{a}^{2}-1）^{2}}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，
則e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)和直線方程的知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．