Question

14．F為雙曲線Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，若Г上存在一點(diǎn)P使得△OPF為等邊三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則Г的離心率e為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 2

Answer 1

分析 先確定等邊三角形的邊長(zhǎng)和點(diǎn)P橫坐標(biāo)，求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d，利用雙曲線定義解出離心率e．

解答 解：不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)，△OPF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為等邊三角形，
故點(diǎn)P橫坐標(biāo)為$\frac{c}{2}$，∴點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d=$\frac{c}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{c}^{2}-2{a}^{2}}{2c}$，△OPF邊長(zhǎng)為c，
∴e=$\frac{c}kmi4mwk$=$\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}-2}$
∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義、簡(jiǎn)單性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．