Question

已知函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1），數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足f（n）=1+（1-

1

a

）S_n，數(shù)列{c_n}有c_n=b_n•lgb_n．
（1）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（2）若對一切n∈N^*都有c_n＜c_n+1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=a^x（a＞0，a≠1），結(jié)合f（n）=1+（1-

1

a

）S_n得到Sn=

a(an-1)

a-1

，由此求出數(shù)列{b_n}的通項公式，代入c_n=b_n•lgb_n求得數(shù)列{c_n}的通項公式，利用錯位相減法求前n項和T_n；
（2）由c_n＜c_n+1，得到nlga＜（n+1）a•lga．對a分類后分離變量a，利用函數(shù)單調(diào)性求得

n

n+1

的范圍，則答案可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x，f（n）=1+（1-

1

a

）S_n，
∴an=1+(1-

1

a

)Sn，
Sn=

a(an-1)

a-1

．
當(dāng)n=1時，b₁=a．
當(dāng)n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

an+1-a

a-1

-

an-a

a-1

=aⁿ．
∴bn=an．
∴c_n=b_n•lgb_n=aⁿ•lgaⁿ=n•aⁿ•lga．
則Tn=lga(1•a1+2•a2+…+n•an)．
令Rn=1•a+2•a2+…+n•an，
則aRn=1•a2+2•a3+…+n•an+1，
兩式作差得：(1-a)Rn=a+a2+…+an-n•an+1=

a(1-an)

1-a

-n•an+1．
∴Rn=

a(1-an)

(1-a)2

-

n•an+1

1-a

．
Tn=lga(

a(1-an)

(1-a)2

-

n•an+1

1-a

)；
（2）由c_n＜c_n+1，得
n•aⁿlga＜（n+1）•aⁿ⁺¹lga，
即nlga＜（n+1）a•lga．
若a＞1，則a＞

n

n+1

，此不等式對任意n都成立；
若0＜a＜1，則a＜

n

n+1

，
∴0＜a＜

1

2

．
綜上，若對一切n∈N^*都有c_n＜c_n+1，則a的取值范圍是(0，

1

2

)∪(1，+∞)．

點評：本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列不等式的解法，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及分離變量法，是較難題．