Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且$|{AK}|=\sqrt{2}|{AF}|$，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$得出其右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到拋物線的方程和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可求得K的坐標(biāo)，設(shè)A（x₀，y₀），過A點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線AB，則B（-3，y₀），根據(jù)|AK|=$\sqrt{2}$|AF|及AF=AB=x₀-（-3）=x₀+3，進(jìn)而可求得A點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
∴拋物線C：y²=12x，準(zhǔn)線為x=-3，
∴K（-3，0）
設(shè)A（x₀，y₀），過A點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線AB，則B（-3，y₀）
∵$|{AK}|=\sqrt{2}|{AF}|$，AF=AB=x₀-（-3）=x₀+3，
∴由BK²=AK²-AB²得BK²=AB²，從而y₀²=（x₀+3）²，即12x₀=（x₀+3）²，
解得x₀=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)拋物線基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握．