Question

12．設a為$\sqrt{3+\sqrt{5}}$-$\sqrt{3-\sqrt{5}}$的小數(shù)部分，b為$\sqrt{6+\sqrt{3}}$-$\sqrt{6-\sqrt{3}}$的小數(shù)部分，試求$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$的值．

Answer 1

分析 將根式化簡表示出a，b，代入$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$后分母有理化求值．

解答 解：∵$\sqrt{3+\sqrt{5}}$-$\sqrt{3-\sqrt{5}}$=$\sqrt{（\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}）^{2}}$=$\sqrt{6-2\sqrt{9-5}}=\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}-1$，
∵$\sqrt{6+\sqrt{3}}$-$\sqrt{6-\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6+\sqrt{3}}-\sqrt{6-\sqrt{3}}）^{2}}$=$\sqrt{12-2\sqrt{33}}$∈（0，1），
∴b=$\sqrt{12-2\sqrt{33}}$．
則$\frac{2}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{12-2\sqrt{33}}}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\frac{2\sqrt{12-2\sqrt{33}}}{12-2\sqrt{33}}-（\sqrt{2}+1）$
=$\frac{\sqrt{12-2\sqrt{33}}}{6-\sqrt{33}}-\sqrt{2}-1$=$\frac{\sqrt{12-2\sqrt{33}}（6+\sqrt{33}）}{3}-\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算，將根式化簡表示出a，b是解題關鍵，屬中檔題．