Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f（x）=x²+2x．現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象如圖所示，
（Ⅰ）請畫出函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)f（x），x∈R的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x），x∈R的解析式；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函數(shù)g（x）的最大值h（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性，補全f（x）的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）利用函數(shù)的奇偶性和已知的x≤0時解析式，求出函數(shù)在x＞0時的解析式，得到本題結(jié)論；
（3）通過分類討論研究二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，得到本題結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）圖象如圖所示，單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∵當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x，
∴當(dāng)x＞0時，-x＜0，
f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+（-x）]=-x²+2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$．
（3）∵函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，
∴g（x）=-x²+（2-2a）x+2，x∈[1，2]，
當(dāng)1-a≤1時，[g（x）]_max=g（1）=3-2a；
當(dāng)1＜1-a≤2時，[g（x）]_max=g（1-a）=a²-2a+3；
當(dāng)1-a＞2時，[g（x）]_max=g（2）=2-4a．
∴[g（x）]_max=$\left\{\begin{array}{l}{3-2a，a≥0}\\{{a}^{2}-2a+3，-1≤a＜0}\\{2-4a，a＜-1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式、二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，本題難度不大，屬于中檔題．