Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a+b=$\sqrt{2}$，△ABC的面積為$\frac{1}{6}$sinC，sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，則C的值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，得到a+b=$\sqrt{2}$c，根據(jù)已知求出c的值，進(jìn)而確定出a+b的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積代入求出ab的值，最后利用余弦定理表示出cosC，將各自的值代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)．

解答 解：在△ABC中，將sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a+b=$\sqrt{2}$c，
∵a+b=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$，即c=1，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{6}$sinC，
∴ab=$\frac{1}{3}$，
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-1}{2ab}$=$\frac{2-\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
則C=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．