Question

11．如圖，已知四邊形ABCD是一塊邊長為2千米的正方形地皮，其中曲邊三角形ADE是一個小池塘，點E在邊CD上且DE=1千米．假設(shè)曲邊AE可用以A為頂點，AD為對稱軸的拋物線擬合，現(xiàn)綠化部門擬過曲邊AE上一點P作切線交邊AB于點M，交CD于點N，在四邊形MBCN內(nèi)栽種花草．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用點P的橫坐標(biāo)t表示花草的面積S（t），并寫出定義域；
（2）求S（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為y=ax²，代入E（1，2），可得拋物線的方程，求得導(dǎo)數(shù)，切線的斜率可得切線的方程，分別令y=0，y=2，可得M，N的坐標(biāo)及MB，NC，由切線過C（2，2），可得t，由梯形的面積公式化簡即可得到所求S（T）；
（2）運(yùn)用基本不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號），即可得到所求面積的最大值．

解答 解：（1）以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，
AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)拋物線的方程為y=ax²，
由E（1，2）在拋物線上，可得a=2，
即有拋物線的方程為y=2x²，
導(dǎo)數(shù)為y′=4x，可得切線MN的斜率為4t，
切線的方程為y-2t²=4t（x-t），
令y=0，可得x=$\frac{t}{2}$，即有MB=2-$\frac{t}{2}$；
令y=2，可得x=$\frac{1}{2t}$+$\frac{t}{2}$，即NC=2-$\frac{1}{2t}$-$\frac{t}{2}$；
當(dāng)切線經(jīng)過點C（2，2），可得2-2t²=4t（2-t），
解得t=2-$\sqrt{3}$，
則S（t）=$\frac{1}{2}$×2（MB+NC）=4-$\frac{1}{2t}$-t（2-$\sqrt{3}$＜t≤1）；
（2）當(dāng)2-$\sqrt{3}$＜t≤1時，S（t）=4-$\frac{1}{2t}$-t
=4-（$\frac{1}{2t}$+t）≤4-2$\sqrt{\frac{1}{2t}•t}$=4-$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2t}$=t，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（2-$\sqrt{3}$，1]時，
S（t）取得最大值4-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查四邊形面積的解析式和最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，同時考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．