Question

3．參數(shù)a分別取何值時(shí)，關(guān)于x的方程$\frac{lo{g}_{a}x}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{lo{g}_{x}（2a-x）}{lo{g}_{x}2}$=$\frac{1}{lo{g}_{（{a}^{2}-1）}2}$，
（1）有解；
（2）僅有一解．

Answer 1

分析 （1）求出方程有意義時(shí)a的范圍和x的范圍，利用對(duì)數(shù)得運(yùn)算性質(zhì)整理方程解出x，判斷解是否符合有意義的條件；
（2）若方程只有一解，則方程有意義且只有一解符合x(chóng)的范圍條件，列方程解出a．

解答 解：由式子有意義得0＜x＜2a，且x≠1．
∵$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠1}\\{{a}^{2}-1＞0}\\{{a}^{2}-1≠1}\end{array}\right.$，解得a＞1且a$≠\sqrt{2}$．
∵$\frac{lo{g}_{a}x}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{lo{g}_{x}（2a-x）}{lo{g}_{x}2}$=$\frac{1}{lo{g}_{（{a}^{2}-1）}2}$，∴l(xiāng)og₂x+log₂（2a-x）=log₂（a²-1）．即x（2a-x）=a²-1，x²-2ax+a²-1=0．解得x₁=a-1，x₂=a+1．
∵a＞1，∴x₂＞x₁＞0，2a-x₁＞2a-x₂=a-1＞0．又∵x₁，x₂不能同時(shí)等于1，
∴只要方程有意義，則方程必有解．∴a的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
（2）若方程只有一解，則x₁不是方程得解，∴x₁=1．解得a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)得運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)得意義，條件較多，不要漏掉條件，屬于中檔題．