Question

7．某景點為了提高門票收入，需要進一步改造升級，經(jīng)過市場調(diào)查，門票新增額s（萬元）與改造投入資金x（萬元）之間滿足s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）（1≤x≤60），當x=10時，s=102，景點新增毛收入f（x）（萬元）為門票新增額扣除改造投入資金．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若將$\frac{f（x）}{x}$定義為投入改造資金的收益率，試確定投入資金x（萬元）的大小，使得改造資金的收益率最高，并求出最高收益率（參考數(shù)據(jù)：ln5=1.61）

Answer 1

分析 （1）通過將x=10、s=102代入s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）整理、計算可知a=$\frac{1}{10}$，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過記g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，計算可知g（x）=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-lnx+ln10（1≤x≤60），通過求導(dǎo)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）將x=10、s=102代入s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）（1≤x≤60），
得：102=102-10+10-10ln（10a），即a=$\frac{1}{10}$，
∴s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（$\frac{1}{10}$x）（1≤x≤60），
∴y=f（x）=s-x
=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³-xln（$\frac{1}{10}$x）（1≤x≤60）；
（2）記g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-ln（$\frac{1}{10}$x），則g（x）=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-lnx+ln10（1≤x≤60），
令g′（x）=$\frac{51}{50}$-$\frac{1}{50}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{51x-{x}^{2}-50}{50x}$=$\frac{-（x-1）（x-50）}{50x}$=0，
可知x=1或x=50，
列表如下：

x	1	（1，50）	50	（50，60）	60
g′（x）	0	+	0	-
g（x）		↑	極大值	↓

由上表可知，g（50）是極大值，也是最大值，
g（x）_max=g（50）=51-25-ln5=26-1.61=24.39，
答：當投入資金50萬元時，改造資金的收益最高，最高效益率為24.39．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．