Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=2．若點(diǎn)E在線(xiàn)段PB上，且PE=2EB，求證：EC∥平面PAD．

Answer 1

分析 在AB上取點(diǎn)F，使得AF=CD=2，連接CF，則可證明CF∥AD，EF∥PA，于是平面CEF∥平面PAD，故而CE∥平面PAD．

解答 證明：在AB上取點(diǎn)F，使得AF=CD=2，連接CF，則BF=1．
∵AF$\stackrel{∥}{=}$CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CF∥平面PAD．
∵PE=2EB，
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{BF}{AF}=\frac{1}{2}$，
∴EF∥PA，又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
又CF?平面CEF，EF?平面CEF，CF∩EF=F，
∴平面CEF∥平面PAD，
∵CE?平面CEF，
∴CE∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考了線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，構(gòu)造平行線(xiàn)是證明的關(guān)鍵，屬于中檔題．