7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BB1,AB=1,AA1=$\sqrt{2}$,D為AA1的中點,BD與AB1交于點O,CO⊥側(cè)面ABB1A1
(1)證明:AB1⊥平面BCD;
(2)若OC=OA,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

分析 (1)使用勾股定理求出BD,AB1,根據(jù)△AOD∽△B1OB可求出AO和DO的長,利用勾股定理的逆定理得出AO⊥OD,又CO⊥側(cè)面ABB1A1可得OC⊥OA,故而AB1⊥平面BCD;
(2)將三棱柱分解成三個小三棱錐計算體積.

解答 (1)證明:∵AB⊥BB1,AB=1,AA1=BB1=$\sqrt{2}$,D為AA1的中點,
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,AB1=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3}$.
∵△AOD∽△B1OB,∴$\frac{AO}{O{B}_{1}}=\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{B{B}_{1}}=\frac{1}{2}$,
∴AO=$\frac{1}{3}A{B}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,OD=$\frac{1}{3}BD=\frac{\sqrt{6}}{6}$.
∴AO2+OD2=$\frac{1}{2}$=AD2
∴AO⊥OD,
∵CO⊥側(cè)面ABB1A1,AO?平面ABB1A1,
∴CO⊥AO,又∵OC?平面BCD,OD?平面BCD,OC∩OD=O,
∴AO⊥平面BCD,即AB1⊥平面BCD.
(2)連結(jié)B1C,A1C,
則V${\;}_{棱錐C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{棱錐{B}_{1}-ABC}$=V${\;}_{棱錐C-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$.
∵OC=OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,S${\;}_{△AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×AB×B{B}_{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴V${\;}_{棱錐{B}_{1}-ABC}$=V${\;}_{棱錐C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△AB{B}_{1}}$•CO=$\frac{\sqrt{6}}{18}$.
∴三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=3V${\;}_{棱錐{B}_{1}-ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定,棱錐的體積計算.屬于中檔題.

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乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46
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